مثال‌های کاربردی سازه‌های نامعین استاتیکی

ب) تنش‌های فشاری موجود در سیلندر فولادی و لوله مسی

با مشخص شدن نیروهای محوری، تنش‌های فشاری موجود در دو بخش مجموعه به صورت زیر تعیین می‌شوند:

توجه داشته باشید که نسبت تنش‌های σ_s/σ_cبا نسبت مدول‌های الاستیسیته E_s/E_c برابر است. این مسئله نشان می‌دهد که معمولاً ماده سخت‌تر، تنش‌های بیشتری را تحمل می‌کند.

ج) میزان کاهش طول مجموعه

به منظور تعیین میزان کاهش طول کل مجموعه می‌توانیم از روابط نیرو-جابجایی استفاده کنیم. به این ترتیب، با جایگذاری نیروهای به دست آمده در این روابط خواهیم داشت:

رابطه بالا نشان می‌دهد که میزان کاهش طول کل مجموعه از تقسیم بار کل بر جمع سختی دو بخش به دست می‌آید (سختی یک میله تحت بار محوری از رابطه k=EA/L محاسبه می‌شود).

استفاده از روش‌های دیگر برای حل معادلات

در مراحل قبلی می‌توانستیم به جای جایگذاری روابط نیرو-جابجایی در معادله سازگاری، آن روابط را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

اکنون، با قرار دادن روابط بالا در معادله تعادل به معادله زیر می‌رسیم:

این معادله، شرایط تعادل را بر حسب جابجایی‌های مجهول بیان می‌کند. با حل هم‌زمان معادله سازگاری و معادله بالا، رابطه‌ای برای تعیین جابجایی‌ها به دست می‌آید:

این رابطه با رابطه معرفی شده در روش قبل یکسان است. به این ترتیب، با تعیین مقادیر جابجایی‌های مجهول و قرار دادن آن‌ها در روابط P_sو P_c، مقادیر نیروهای فشاری نیز مشخص می‌شوند.

توجه: روش جایگزینی که برای این مثال معرفی کردیم، نسخه ساده‌شده‌ای از روش تحلیل سختی یا جابجایی است. روش اول نیز نسخه ساده‌شده‌ای از روش انعطاف‌پذیری یا نیرو را نمایش می‌دهد. در واقع، نام‌گذاری این روش‌ها به دلیل در نظر گرفتن نیروها به عنوان مجهولات و انعطاف‌پذیری‌ها به عنوان ضرایب مسئله (در روش اول) و همچنین در نظر گرفتن جابجایی‌ها به عنوان مجهولات و سختی‌ها به عنوان ضرایب مسئله (در روش دوم) صورت گرفته است.

مثال 2

شکل زیر، یک میله افقی صلب را نمایش می‌دهد. این میله (AB) در نقطه A به یک تکیه‌گاه مفصلی متصل شده است. دو سیم CD و EF نیز در نقاط D و F از میله AB نگهداری می‌کنند. به علاوه، بار عمودی P در نقطه B به میله وارد می‌شود.

طول میله برابر با 3b و طول سیم‌های CD و EF به ترتیب برابر با L₁و L₂است. با در نظر گرفتن قطر d₁و مدول الاستیسیته E₁برای سیم L₁و قطر d₂و مدول الاستیسیته E₂برای سیم EF، موارد الف و ب را تعیین کنید.

• الف) اگر تنش‌های مجاز درون سیم‌های CD و EF به ترتیب σ₁ و σ₁ باشند، فرمول‌های مورد نیاز برای محاسبه بار مجاز P را به دست بیاورید. (از وزن میله صرف نظر کنید.)
• ب) اگر سیم CD از جنس آلومینیوم با مدول الاستیسیته E₁=72GPa، قطر d₁=4mm و طول L₁=0.4m و سیم EF از جنس منیزیوم با مدول الاستیسیته E₂=45GPa، قطر d₂=3mm و طول L₂=0.3m باشد، مقدار بارِ مجاز P چقدر خواهد بود؟ (تنش‌های مجاز در سیم‌ها آلومینیومی و منیزیومی را به ترتیب برابر با σ₁=200MPa و σ₂=175MPa در نظر بگیرید.)

معادله تعادل

تحلیل این مسئله را با رسم نمودار جسم آزاد میله AB شروع می‌کنیم. T₁ و T₂ در این نمودار، نیروهای کششی مجهول در سیم‌های CD و EF را نمایش می‌دهند. R_H و R_V نیز به ترتیب مؤلفه‌های افقی و عمودی عکس‌العمل تکیه‌گاهی سازه هستند. به دلیل وجود چهار مجهول (T₂ ،T₁ ،R_H و R_V) و تنها سه معادله تعادل (گشتاور حول نقطه A، جمع مولفه‌های افقی نیرو و جمع مولفه‌های عمودی نیرو)، سازه مورد تحلیل از نظر استاتیکی نامعین در نظر گرفته می‌شود.

سازه‌های نامعین استاتیکی

با تعیین گشتاورهای موجود حول نقطه A، رابطه زیر به دست می‌آید (علامت گشتاور پادساعت‌گرد، مثبت در نظر گرفته می‌شود):

دو معادله مربوط به جمع نیروهای موجود در راستای افقی و همچنین جمع نیروهای موجود در راستای عمودی، هیچ کاربردی در تعیین T₁ و T₂ نخواهند داشت.

معادله سازگاری

بارِ P باعث دوران میله AB حول نقطه A و کشیدگی سیم‌های CD و EF می‌شود. شکل جابجایی‌های به وجود آمده را می‌توان در نمودار جابجایی زیر مشاهده کرد. خط AB، موقعیت اولیه میله و خط A’B، موقعیت میله پس از جابجایی را نمایش می‌دهد. جابجایی‌های δ₁ و δ₂ نیز معرف افزایش طول‌های سیم‌های CD و EF هستند. به دلیل کوچک بودن این جابجایی‌ها، میله تحت یک زاویه بسیار کوچک دوران می‌کند. به همین دلیل می‌توانیم در محاسبات خود فرض کنیم که حرکت رو به پایین نقاط F ،D و B به صورت عمودی است (نه به صورت دایره‌ای).

سازه‌های نامعین استاتیکی

به دلیل برابر بودن فواصل افقی AD و DF می‌توانیم رابطه هندسی زیر را بین مقادیر افزایش طول در نظر بگیریم:

این معادله، معادله سازگاری مسئله مورد تحلیل است.

روابط نیرو-جابجایی

سیم‌های CD و EF به صورت الاستیک خطی رفتار می‌کنند. از این‌رو می‌توان تغییر طول‌های به وجود آمده در آن‌ها را بر حسب T₁ و T₂ بیان کرد:

مساحت سطح مقطع سیم‌های CD و EF از طریق روابط زیر به دست می‌آیند:

به منظور ساده‌سازی نحوه نوشتن معادلات، از مفهوم انعطاف‌پذیری سیم‌ها استفاده می‌کنیم:

به این ترتیب، روابط نیرو-جابجایی به فرم زیر تبدیل می‌شوند:

حل معادلات

اکنون می‌توانیم معادلات و روابط بخش‌های قبلی را به طور هم‌زمان حل کنیم. برای شروع، روابط نیرو-جابجایی را در معادله سازگاری قرار می‌دهیم:

در معادله بالا و معادله تعادل، نیروهای T₁ و T₂ به عنوان کمیت‌های مجهول به حساب می‌آیند. با حل هم‌زمان این دو معادله بر حسب نیروهای مجهول به روابط زیر می‌رسیم:

با مشخص شدن T₁ و T₂ می‌توانیم تغییر طول سیم‌ها را با استفاده از روابط نیرو-جابجایی به راحتی تعیین کنیم.

الف) بار مجاز P

در بخش قبلی، تحلیل نامعین استاتیکی را انجام دادیم و روابط مربوط به نیروهای موجود در سیم‌ها را به دست آوردیم. در این بخش، مقادیر مجاز بارِ P را مشخص می‌کنیم. تنش σ₁ در سیم CD و تنش σ₂ در سیم EF از طریق روابط ارائه شده برای T₁ و T₂ تعیین می‌شوند:

با استفاده از معادله اول می‌توان مقدار مجاز نیروی P₁ را بر حسب تنش مجاز σ₁ در CD محاسبه کرد:

به همین ترتیب، مقدار مجاز P₂ بر حسب تنش مجاز σ₂ در سیم EF نیز به دست می‌آید:

از بین P₁ و P₂، هر کدام که مقدار کوچک‌تر داشته باشد به عنوان حداکثر بار مجاز (P_allow) انتخاب می‌شود.

ب) محاسبات عددی بار مجاز

اکنون با استفاده از اطلاعات مسئله و معادلات به دست آمده، مقادیر عددی کمیت‌های مورد نیاز را محاسبه می‌کنیم:

علاوه بر موارد فوق، تنش‌های مجاز نیز برابر با مقادیر زیر هستند:

با جایگذاری این تنش‌ها در روابط P₁ و P₂، مقدار بار مجاز در هر یک از سیم‌ها مشخص می‌شود:

بار P₁ بر اساس تنش‌های مجاز در سیم آلومینیومی و بار P₂ بر اساس تنش‌های مجاز در سیم منیزیومی به دست آمده است. از بین این دو، مقدار کوچک‌تر به عنوان بار مجاز سازه در نظر گرفته می‌شود:

در بار مجاز (P_allow=1.26kN)، تنش درون سیم منیزیمی 175 مگاپاسکال (مقدار مجاز) و تنش درون سیم آلومینیومی (1.26/2.41)*200=105 مگاپاسکال است. همان‌طور که انتظار می‌رفت، مقدار این تنش کمتر از تنش مجاز 200 مگاپاسکالی شد.