نیروهای موجود در یک سازه معین استاتیکی بدون اطلاع از خواص مکانیکی مواد تشکیل‌دهنده آن محاسبه می‌شوند. به عنوان مثال، میله نمایش داده شده در شکل زیر را در نظر بگیرید. در این میله، نیروهای محوری داخلی و نیروی عکس‌العمل تکیه‌گاهی (R) به خواص مواد سازنده بستگی ندارند. به این ترتیب، این نیروها صرفاً با استفاده از روابط استاتیکی قابل محاسبه خواهند بود.
میله معین استاتیکی
شکل زیر، یک سازه پیچیده‌تر را نمایش می‌دهد که محاسبه نیروهای داخلی و عکس‌العمل‌های تکیه‌گاهی آن با استفاده از روابط استاتیکی امکان‌پذیر نیست. هر دو انتهای این میله ثابت هستند. علیرغم وجود دو عکس‌العمل عمودی RA و RB، تنها یک معادله تعادل (جمع نیروهای موجود در راستای عمودی) برای تحلیل استاتیکی میله وجود دارد.
به دلیل تشکیل یک دستگاه یک معادله دو مجهولی و کافی نبودن تعداد معادلات مورد نیاز برای یافتن مجهولات مسئله (برای حل یک دستگاه دو مجهولی به حداقل دو معادله نیاز داریم)، سازه نمایش داده شده در شکل زیر از نظر استاتیکی نامعین خواهد بود. برای تحلیل چنین سازه‌هایی باید مجموعه معادلات مورد نیاز خود را با در نظر گرفتن روابط مرتبط با جابجایی سازه تکمیل کنیم.
میله نامعین استاتیکی
به منظور آشنایی با نحوه تحلیل سازه‌های نامعین استاتیکی، شکل زیر را در نظر بگیرید. این شکل، یک میله منشوری را نمایش می‌دهد که در دو انتهای خود به تکیه‌گاه‌های صلب متصل شده است. نیروی محوری P در نقطه میانی C به میله وارد می‌شود.
تحلیل یک سازه نامعین استاتیکی
همان‌گونه که در ابتدا اشاره کردیم؛ به دلیل وجود تنها یک معادله تعادل، عکس‌العمل‌های RA و RB از طریق روابط استاتیکی قابل محاسبه نخواهند بود. معادله اول، با استفاده از روابط استاتیکی و در نظر گرفتن تعادل نیروها در راستای عمودی به دست می‌آید:
با مشخص کردن معادله اول، برای تعیین دو مجهول مسئله به یک معادله دیگر نیاز خواهیم داشت. دستیابی به معادله دوم با بررسی جابجایی‌های درون سازه امکان‌پذیر خواهد شد. به دلیل ثابت بودن دو انتهای میله، هیچ تغییری در طول آن رخ نخواهد داد. با توجه به این نکته می‌توانیم معادله دوم را به دست بیاوریم. اگر میله را همانند شکل زیر از تکیه‌گاه‌هایش جدا کنیم، میله‌ای به دست می‌آید که هر دو انتهای آن آزاد هستند و سه نیروی RB ،RA و P به آن وارد می‌شوند.
نیروهای اعمال شده به میله باعث تغییر طول آن به اندازه δAB می‌شوند. توجه داشته باشید که به دلیل ثابت بودن تکیه‌گاه‌های سازه، مقدار این تغییر طول باید برابر با صفر باشد:
به معادله بالا، «معادله سازگاری» (Equation of Compatibility) گفته می‌شود. بر اساس عنوان این معادله، تغییر طول میله باید با وضعیت تکیه‌گاه‌های آن سازگار باشد. برای حل دو معادله به دست آمده باید معادله سازگاری را بر حسب نیروهای مجهول RA و RB بازنویسی کنیم. روابط بین نیروهای اعمال شده بر روی یک میله و تغییرات طول ناشی از این نیروها، با عنوان «روابط نیرو-جابجایی» (Force-Displacement Relations) شناخته می‌شوند.
این روابط دارای فرم‌های مختلفی هستند که هر یک از آن‌ها به خواص ماده بستگی دارد. به عنوان مثال، اگر ماده تشکیل‌دهنده میله الاستیک خطی باشد، می‌توان از معادله δ=PL/EA برای دستیابی به روابط نیرو-جابجایی استفاده کرد. مساحت سطح مقطع میله بالا را برابر با A و مدول الاستیسیته ماده تشکیل‌دهنده آن را برابر با E در نظر بگیرید. با توجه به این کمیت‌ها، تغییر طول بخش‌های بالایی و پایینی میله با استفاده از روابط زیر تعیین می‌شود:
به این ترتیب، روابط نیرو-جابجایی برای میله مورد تحلیل به دست می‌آیند (علامت منفی به معنای کاهش طول میله است). اکنون به منظور یافتن مجهولات مسئله می‌توانیم معادله تعادل، معادله سازگاری و روابط نیرو-جابجایی را به طور هم‌زمان حل کنیم. برای این مسئله خاص، در مرحله اول روابط نیرو-جابجایی را با معادله سازگاری ترکیب می‌کنیم:
دقت داشته باشید که هر دو مجهول مسئله در این معادله جدید نیز وجود دارند. به همین دلیل، معادله بالا و معادله تعادل را به طور هم‌زمان حل می‌کنیم. با حل این دستگاه دو معادله دو مجهولی، نتایج زیر حاصل می‌شوند:
با مشخص شدن مقدار عکس‌العمل‌های RA و RB، مقادیر نیروها و جابجایی‌ها نیز قابل محاسبه خواهند بود. به عنوان مثال، فرض کنید بخواهیم جابجایی رو به پایین نقطه C را محاسبه کنیم. این جابجایی (δC) با تغییر طول بخش AC برابر است. به این ترتیب داریم:
با تعیین مجهولات مسئله و مقادیر نیروهای داخلی، امکان محاسبه تنش‌های موجود در بخش‌های میله نیز فراهم می‌شود (به عنوان مثال، σAC=RA/A=Pb/AL).